カードゲームではよく二つのカードの効果を組み合わせて使ったりします。 それによって、新しい効果や相乗効果が得られたりするのですが、 そのためには二つのカードをドローして、効力の発揮できる状態にしなければなりません。
そこで、どのくらい二つのカードが揃うのか調べました。
| A,Bの枚数（B,Aの枚数でも結果は同じです） | ||||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1,1 | 1,2 | 1,3 | 1,4 | 1,5 | 1,6 | 2,2 | 2,3 | 2,4 | 2,5 | 2,6 | 3,3 | 3,4 | 3,5 | 3,6 | 4,4 | 4,5 | 4,6 | 5,5 | 5,6 | 6,6 | ||
| ドロー枚数 | 6 | 2% | 4% | 5% | 7% | 8% | 9% | 7% | 10% | 12% | 15% | 17% | 14% | 18% | 21% | 24% | 22% | 26% | 30% | 31% | 35% | 40% |
| 7 | 3% | 5% | 7% | 9% | 10% | 12% | 9% | 13% | 16% | 19% | 22% | 18% | 23% | 27% | 30% | 28% | 33% | 37% | 39% | 43% | 49% | |
| 8 | 4% | 7% | 9% | 11% | 13% | 14% | 12% | 17% | 21% | 24% | 26% | 23% | 28% | 33% | 36% | 35% | 40% | 45% | 46% | 51% | 57% | |
| 9 | 5% | 8% | 11% | 14% | 16% | 17% | 15% | 21% | 25% | 29% | 31% | 28% | 34% | 39% | 43% | 41% | 47% | 52% | 54% | 59% | 64% | |
| 10 | 6% | 10% | 14% | 17% | 19% | 20% | 18% | 25% | 30% | 33% | 36% | 33% | 40% | 45% | 49% | 48% | 54% | 58% | 60% | 65% | 71% | |
| 11 | 7% | 12% | 17% | 20% | 22% | 23% | 22% | 29% | 34% | 38% | 41% | 38% | 45% | 51% | 54% | 54% | 60% | 64% | 66% | 71% | 76% | |
| 12 | 8% | 15% | 19% | 23% | 25% | 27% | 25% | 33% | 39% | 43% | 46% | 44% | 51% | 56% | 60% | 59% | 65% | 69% | 72% | 76% | 81% | |
| 13 | 10% | 17% | 22% | 26% | 28% | 30% | 29% | 38% | 44% | 48% | 50% | 48% | 56% | 61% | 64% | 64% | 70% | 74% | 76% | 81% | 85% | |
| 14 | 12% | 20% | 25% | 29% | 31% | 33% | 33% | 42% | 48% | 52% | 54% | 53% | 61% | 66% | 69% | 69% | 75% | 78% | 81% | 84% | 88% | |
| 15 | 13% | 22% | 28% | 32% | 34% | 35% | 37% | 46% | 52% | 56% | 58% | 58% | 65% | 70% | 73% | 74% | 79% | 82% | 84% | 88% | 91% | |
| 16 | 15% | 25% | 31% | 35% | 37% | 38% | 41% | 51% | 56% | 60% | 62% | 63% | 70% | 74% | 77% | 78% | 82% | 85% | 87% | 90% | 93% | |
| 17 | 17% | 28% | 34% | 38% | 40% | 41% | 45% | 55% | 61% | 64% | 66% | 67% | 74% | 78% | 80% | 81% | 85% | 88% | 90% | 92% | 95% | |
| 18 | 20% | 31% | 37% | 41% | 43% | 44% | 49% | 59% | 64% | 67% | 69% | 71% | 77% | 81% | 83% | 84% | 88% | 90% | 92% | 94% | 96% | |
| 19 | 22% | 34% | 41% | 44% | 46% | 47% | 53% | 63% | 68% | 71% | 72% | 74% | 81% | 84% | 85% | 87% | 90% | 92% | 94% | 96% | 97% | |
| 20 | 24% | 37% | 44% | 47% | 49% | 49% | 57% | 66% | 71% | 74% | 75% | 78% | 84% | 86% | 88% | 90% | 92% | 94% | 95% | 97% | 98% | |
カードA,Bを3,3枚ずつ入れた40枚デッキから10枚ドローすると、 その中にカードA,Bが少なくとも1枚ずつは含まれる確率は33%、というのが表の見方です。
しかし、揃いませんね…両方とも3枚積みであっても揃うのは中盤頃になってしまいそうです。 やはり、サーチカードを投入するか似たような効果の別カードを加えるべきでしょう。
ここで言う両対応サーチカードとは、カードA,Bどちらの代わりにもなるカードのことです。
たとえば、カードA,Bを《トゥーン・ワールド》、《トゥーン・ブラック・マジシャン・ガール》としたときの《トゥーンのもくじ》であるとか、 カードA,Bを儀式モンスター、儀式魔法としたときの《マンジュ・ゴッド》などの組み合わせです。
両対応サーチカードがない場合は、時間はかかりますが万能のサーチカードである《タイムカプセル》、《封印の黄金櫃》を使用することになります。
先ほどの確率表を改善するため、A,Bの枚数に加えてこの両対応サーチカードを3枚積むことにします。
ドローしたカードの中に「A,Bが少なくとも1枚ある」に加えて、
「A（もしくはB）と両対応サーチカードが少なくとも1枚ある」
「両対応サーチカードが少なくとも2枚ある」
の場合も成功と見なすことにします。
さて、どれだけ揃う確率が上昇するでしょうか？ （先ほどより両対応サーチカード3枚の分だけ余計にカードを使っていることに注意。）
| A,Bの枚数＋両対応サーチカード3枚 | ||||||||||||||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1,1 | 1,2 | 1,3 | 1,4 | 1,5 | 1,6 | 2,2 | 2,3 | 2,4 | 2,5 | 2,6 | 3,3 | 3,4 | 3,5 | 3,6 | 4,4 | 4,5 | 4,6 | 5,5 | 5,6 | 6,6 | ||
| ドロー枚数 | 6 | 15% | 20% | 25% | 28% | 32% | 34% | 26% | 31% | 35% | 38% | 42% | 36% | 40% | 44% | 48% | 45% | 50% | 53% | 54% | 58% | 62% |
| 7 | 20% | 26% | 31% | 36% | 39% | 43% | 33% | 39% | 43% | 47% | 51% | 45% | 50% | 54% | 57% | 55% | 59% | 63% | 64% | 68% | 72% | |
| 8 | 26% | 33% | 38% | 43% | 47% | 50% | 40% | 46% | 51% | 55% | 59% | 53% | 58% | 62% | 66% | 63% | 68% | 71% | 72% | 76% | 79% | |
| 9 | 31% | 39% | 45% | 50% | 54% | 57% | 47% | 54% | 59% | 63% | 66% | 60% | 66% | 70% | 73% | 71% | 75% | 78% | 79% | 82% | 85% | |
| 10 | 37% | 45% | 52% | 57% | 61% | 63% | 54% | 61% | 66% | 69% | 72% | 67% | 72% | 76% | 78% | 77% | 81% | 83% | 84% | 87% | 89% | |
| 11 | 42% | 51% | 58% | 63% | 66% | 69% | 60% | 67% | 71% | 75% | 77% | 73% | 78% | 81% | 83% | 82% | 85% | 87% | 88% | 90% | 92% | |
| 12 | 48% | 57% | 64% | 68% | 72% | 74% | 66% | 72% | 77% | 80% | 82% | 78% | 82% | 85% | 87% | 86% | 89% | 91% | 92% | 93% | 95% | |
| 13 | 53% | 63% | 69% | 73% | 76% | 78% | 71% | 77% | 81% | 84% | 85% | 83% | 86% | 89% | 90% | 90% | 92% | 93% | 94% | 95% | 96% | |
| 14 | 58% | 68% | 74% | 78% | 80% | 82% | 76% | 82% | 85% | 87% | 88% | 86% | 90% | 91% | 93% | 92% | 94% | 95% | 96% | 97% | 98% | |
| 15 | 63% | 72% | 78% | 81% | 84% | 85% | 80% | 85% | 88% | 90% | 91% | 90% | 92% | 94% | 94% | 94% | 96% | 97% | 97% | 98% | 98% | |
| 16 | 68% | 77% | 82% | 85% | 86% | 87% | 84% | 88% | 91% | 92% | 93% | 92% | 94% | 95% | 96% | 96% | 97% | 98% | 98% | 99% | 99% | |
| 17 | 72% | 80% | 85% | 88% | 89% | 90% | 87% | 91% | 93% | 94% | 94% | 94% | 96% | 97% | 97% | 97% | 98% | 98% | 99% | 99% | 99% | |
| 18 | 76% | 84% | 88% | 90% | 91% | 92% | 90% | 93% | 95% | 95% | 96% | 96% | 97% | 98% | 98% | 98% | 99% | 99% | 99% | 99% | 100% | |
| 19 | 80% | 87% | 90% | 92% | 93% | 93% | 92% | 95% | 96% | 96% | 97% | 97% | 98% | 98% | 98% | 99% | 99% | 99% | 99% | 100% | 100% | |
| 20 | 83% | 89% | 92% | 94% | 94% | 95% | 94% | 96% | 97% | 97% | 98% | 98% | 98% | 99% | 99% | 99% | 99% | 100% | 100% | 100% | 100% | |
なんと計6枚使うA,B3枚積みより、計5枚で済むA,B1枚＋両対応サーチ3枚の方が揃いやすいという結果になりました。 ちょっと驚きですね…間違ってないか不安になりますが。
不安なので検算してみましょう。数え上げの方法が使えるように問題の規模を小さくします。
9枚のカードから1枚ずつ2枚を取り出す例を考えます。全ての順列は9*8=72通りです。
AAABBBCDEから2枚取り出し、A,BまたはB,Aである場合…18通り
ABsssCDEFから2枚取り出し、A,B、A,s、B,s、s,sまたはその逆である場合…20通り
というわけで、やはりA,B1枚＋両対応サーチ3枚の方が高くなりました。
また、A,Bがどんな枚数の組み合わせでも、A,B＋両対応サーチ3枚＞A+2,B+2枚が成り立つようです。 さらに、二つの確率の差を取るとこんな感じになります。
| （A,B＋両対応サーチ3枚） - （A+2,B+2枚） | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1,1 - 3,3 | 1,2 - 3,4 | 1,3 - 3,5 | 1,4 - 3,6 | 2,2 - 4,4 | 2,3 - 4,5 | 2,4 - 4,6 | 3,3 - 5,5 | 3,4 - 5,6 | 4,4 - 6,6 | ||
| ドロー枚数 | 6 | 1% | 3% | 4% | 5% | 4% | 4% | 5% | 5% | 5% | 6% |
| 7 | 2% | 3% | 5% | 6% | 4% | 5% | 6% | 6% | 6% | 6% | |
| 8 | 2% | 4% | 6% | 7% | 5% | 6% | 7% | 6% | 7% | 7% | |
| 9 | 3% | 5% | 6% | 8% | 6% | 7% | 7% | 7% | 7% | 7% | |
| 10 | 3% | 5% | 7% | 8% | 6% | 7% | 7% | 7% | 7% | 6% | |
| 11 | 4% | 6% | 7% | 9% | 7% | 7% | 7% | 7% | 7% | 6% | |
| 12 | 4% | 6% | 8% | 9% | 7% | 7% | 7% | 7% | 6% | 5% | |
| 13 | 5% | 7% | 8% | 9% | 7% | 7% | 7% | 6% | 6% | 5% | |
| 14 | 5% | 7% | 8% | 9% | 7% | 7% | 7% | 6% | 5% | 4% | |
| 15 | 5% | 7% | 8% | 9% | 7% | 6% | 6% | 5% | 5% | 4% | |
| 16 | 5% | 7% | 8% | 8% | 6% | 6% | 6% | 5% | 4% | 3% | |
| 17 | 5% | 7% | 7% | 8% | 6% | 5% | 5% | 4% | 3% | 2% | |
| 18 | 5% | 6% | 7% | 7% | 5% | 5% | 4% | 4% | 3% | 2% | |
| 19 | 5% | 6% | 7% | 7% | 5% | 4% | 4% | 3% | 2% | 2% | |
| 20 | 5% | 6% | 6% | 6% | 4% | 4% | 3% | 2% | 2% | 1% | |